新动态：轰动数学界的里程碑事件，究竟证明了什么

• 2022-11-20 15:47:57 来源：科普时报

视觉中国供图

(资料图)

科普时报实习记者 都 芃

对于数论的研究者来说，或许存在两个宇宙，一个宇宙中存在朗道-西格尔零点，另一个宇宙则不存在。但困惑在于，我们究竟存在于哪个宇宙中？美籍华裔数学家、加州大学圣塔芭芭拉分校教授张益唐或许已经就这个问题给出了初步的答案。11月8日，在面向北京大学师生和公众的线上学术报告会上，张益唐讲解了关于朗道-西格尔零点猜想的最新研究成果。

令人着迷的素数

要理解朗道-西格尔零点猜想，首先要从素数开始讲起。素数是指只能被自身和1整除的正整数。早在古希腊时期，人们就开始关注素数这类自然数中最基本而又神秘的“元素”。中国科学技术大学副研究员、知名科普专家袁岚峰介绍，公元前300年左右，欧几里得便通过十分简洁、巧妙的方法证明了素数是无穷的。但人们又不禁发问，既然素数是无穷的，那么素数的分布是否有规律，我们是否可以写出一个关于素数的通项公式？此后数千年间，欧拉、黎曼等知名数学家围绕素数开展了一系列研究，诞生了如哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、黎曼猜想等诸多举世闻名的数学问题。

袁岚峰表示，虽然这其中哥德巴赫猜想最为出名，但其主要得益于极简的表现形式，能够让大多数人有所理解，而黎曼猜想才是所有关于素数的数学问题中最具价值的那一个。数学家黎曼在研究中发现，素数分布的奥秘完全隐藏在一个特殊的函数中，这就是著名的黎曼zeta函数。当这个函数取值为0时，一系列的特殊点会对素数分布的规律产生决定性影响，这一系列的特殊点也被称为黎曼zeta函数的非平凡零点。如果用最简洁的语言来解释黎曼猜想，那便是黎曼zeta函数的所有非平凡零点的实部都等于1/2。

黎曼猜想被提出后，为了研究等差数列上的素数分布问题，德国数学家狄利克雷又引入了狄利克雷L函数，被看作是黎曼zeta函数的推广形式。数学家们认为，狄利克雷L函数上的零点也都位于实部等于1/2的那条垂线上，这便是广义黎曼猜想。

“保卫”黎曼猜想

虽然黎曼猜想和广义黎曼猜想都未能得到充分证明，但数学家大多已经默认了其真实性。除了一个格格不入的“怪胎”的存在，仍让人对这两个猜想的正确性心生疑惑，那就是朗道-西格尔零点。德国数学家西格尔和其导师朗道在对狄利克雷L函数进行研究时发现，一个异常零点可能并不分布在那条实部为1/2的直线上。如果这个零点真的存在，那么广义黎曼猜想和原始黎曼猜想都会在一定程度上被推翻。

张益唐此次的工作，正是在一定范围内证明了该零点并不存在，一定程度上“保卫”了黎曼猜想的正确性。在张益唐给出的两个定理中，一个定理的指数是-2024，如果能够将其变成-1，那么就完全证明了朗道-西格尔零点猜想。但袁岚峰告诉记者，-2024和-1已经没有本质上的区别了，相比过去的证明结果，这已经是质的飞跃。

张益唐采用的论证方法，是数学中经典的“矛盾证明法”，也可以称之为“反证法”。他先假设朗道-西格尔零点以弱形式存在，结果推导发现这会导致狄利克雷L函数中其他零点出现与实际情况不符的特征，于是可以由此反过来证明朗道-西格尔零点并不存在。袁岚峰表示，虽然“反证法”已是数学中极为经典的方法，但张益唐将其应用到了极致，并给出了自己的创新，这将对解决其他数学问题给予启发。

张益唐本人则表示，目前的研究成果只是在小范围内证明朗道-西格尔零点猜想是对的，即该零点确实不存在，但其研究还需完善，下一步将继续深化研究。

标签： 狄利克雷 素数分布 哥德巴赫猜想

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